Contoh Fungsi Injektif, Surjektif dan Bijektif

NAMA            :  WAHYUDIN HARIS

NIM                :   1211041003

PRODI           :   PENDIDIKAN MATEMATIKA

KELAS           :    A1

SOAL :

Buatlah masing-masing dua buah relasi atau pemetaan yang merupakan fungsi, Fungsi Satu-Satu, dan Fungsi Pada dan beri penjelasan secukupnya.

PENYELESAIAN :

A.           FUNGSI

Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang menghubungkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.

Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A  ->  B yang artinya f memetakan A ke B. A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (Kodomain) dari f. Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi. Kita menuliskan f(a) = b jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen b di dalam B.

Contoh 1 :                                                                   

            Relasi f = {(1, u), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi dari A ke B. Di sini f(1) = u, f(2) = v, dan f(3) = w. Daerah asal dari f adalah A dan daerah hasil adalah B. Jelajah dari f adalah {u, v, w}, yang dalam hal ini sama dengan himpunan B.

            Relasi di atas merupakan suatu fungsi sebab daerah asal dari f yaitu A = {1, 2, 3} memiliki tepat satu pasangan pada daerah kawan dari f yaitu B = {u, v, w}. Yang mana sesuai dengan definisi fungsi.

            Contoh 2 :

Relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi dari A ke B, meskipun u merupakan bayangan dari dua elemen A. Daerah asal fungsi adalah A, daerah hasilnya adalah B, dan jelajah fungsi adalah {u, v}.

Relasi di atas merupakan suatu fungsi, meskipun anggota daerah asal dari f yaitu A = {1, 2, 3} memiliki pasangan yang sama pada daerah kawan dari f yaitu B = {u, v, w} namun masih dapat dikatakan suatu fungsi. Selama anggota dari daerah asal memiliki tepat satu pasangan pada daerah kawan maka dapat dikatakan sebagai suatu fungsi.

B.            FUNGSI INJEKTIF ( SATU-KE-SATU )

Fungsi f disebut fungsi satu-satu (one-to-one) atau injektif jika semua preimage adalah unik. Dengan kata lain, jika a ≠ b maka f (a) ≠ f (b).  Atau jika a = b maka f (a) = f (b). 

Fungsi f dikatakan satu-ke-satu (one-to-one) atau (injective) jika  tidak  ada  dua  elemen himpunan memiliki bayangan sama.

Contoh 1 :

Relasi f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w, x} adalah fungsi satu-ke-satu. Di sini f(1) = w, f(2) = u, dan f(3) = v. Daerah asal dari f adalah A dan daerah hasil adalah B. Jelajah dari f adalah {u, v, w}, yang dalam hal ini anggota dari himpunan B. Mengapa dikatakan fungsi satu-ke-satu? Karena, anggota daerah asal dari f adalah A memiliki tepat satu pasangan pada daerah kawan dari f adalah B. Dan tidak ada dua  elemen himpunan A yang memiliki bayangan yang sama pada himpunan B.

Contoh 2 :

Misalkan f : Z    ->   Z.. Tentukan apakah f(x) = x – 1 merupakan fungsi satu-ke-satu?

Solusi :

Berdasarkan definisi, Fungsi f disebut fungsi satu-satu (one-to-one) atau injektif jika semua preimage adalah unik. Dengan kata lain, jika a ≠ b maka f (a) ≠ f (b).  Atau jika a = b maka f (a) = f (b).

f(x) = x – 1 adalah fungsi satu-ke-satu karena untuk a ≠ b, maka

a – 1 ≠ b – 1. Misalnya untuk x = 2, f(2) = 1 dan untuk x = -2, f(-2) = -3.

C.            FUNGSI SURJEKTIF ( PADA / ONTO )

Fungsi f dikatakan surjektif (surjective) atau pada (onto) jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A.

Fungsi f disebut fungsi pada (onto) atau surjektif jika setiap y pada B memiliki preimage. Dengan kata lain, untuk setiap y dalam B terdapat sebuah x dalam A demikian hingga f (x) = y.

Contoh 1 :

Relasi f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} merupakan fungsi pada karena semua anggota B merupakan jelajah dari f. Selain itu anggota daerah asal dari f adalah A memiliki tepat satu pasangan pada daerah kawan dari f adalah B.

Contoh 2 :

Misalkan f : Z   ->    Z.. Tentukan apakah f(x) = x – 1 merupakan fungsi onto atau surjektif?

Solusi :

Berdasarkan definisi, Fungsi f disebut fungsi pada (onto) atau surjektif jika setiap y pada B memiliki preimage. Dengan kata lain, untuk setiap y dalam B terdapat sebuah x dalam A demikian hingga f (x) = y.

f(x) = x – 1 adalah fungsi pada karena untuk setiap bilangan bulat y, selalu ada nilai x yang memenuhi, yaitu y = x – 1 akan dipenuhi untuk x = y + 1.

THANKS