NAMA : WAHYUDIN HARIS
NIM : 1211041003
PRODI : PENDIDIKAN
MATEMATIKA
MATA KULIAH : STRUKTUR ALJABAR I / TUGAS
II
KELAS : A1
BUKTIKAN LEMMA 2.3.1 Jika G adalah
grup, maka
1 1. Unsur
identitas suatu grup adalah tunggal.
2 2. Untuk
setiap a elemen G
3 3. Untuk
setiap a elemen G
, ( a-1 )-1 = a.
4 4. Untuk semua a, b elemen G
, berlaku ( ab )-1 = b-1 . a-1.
Bukti :
1. 1. Misalkan G
adalah grup. Misalkan pula e dan e’ adalah unsur identitas di G, akan
ditunjukkan bahwa e=e’.
Karena, e
unsur identitas di G dan e' elemen G
, maka e.e’ = e’.e = e’.
Juga e’ unsur identitas di G dan e elemen G
, maka e’.e = e.e’ = e.
Jadi e = e’.e = e.e’ =
e’
Dengan demikian
terbukti bahwa unsur identitas suatu grup adalah tunggal.
2. 2, Misalkan G adalah grup,
dan e unsur identitas di G.
Ambil a elemen G
sembarang.
Misalkan pula b dan c
invers dari a.
Akan ditunjukkan b = c.
Karena b
invers dari a, maka ba = ab =
e..................................................(i)
c
invers dari a, maka ca = ac = e...................................................(ii)
dari (ii)
diperoleh b(ac) = be = b (karena e identitas)
Jadi b(ac)
=
b..............................................................................................(iii)
Juga dari
(i) diperoleh (ba)c = ec = c (karena e identitas).
Jadi (ba)c
=
c...............................................................................................(iv)
Karena grup
memenuhi sifat asosiatif, maka dari (iii) dan (iv) diperoleh b = b(ac) = (ba)c
= c. ini berarti invers dari a tunggal.
Karena a
dipilih sembarang dari anggota G, maka disimpulkan bahwa setiap anggota G
mempunyai invers tunggal di G.
3. 3. Jika a elemen G
Misalkan a-1
adalah invers dari a, maka (a-1)-1 = a. (sifat ini yang
akan ditunjukkan).
Misalkan e elemen G
a-1.a = a.a-1
= e
Pandang a-1.a = e
(a-1)-1 (a-1.a)
= (a-1)-1 e [ kedua ruas dikalikan
dengan (a-1)-1 ]
[ (a-1)-1
(a-1) ]a = (a-1)-1 [ hukum asosiatif ]
e.a = (a-1)-1 [(a-1)-1
(a-1) = e ]
a = (a-1)-1
Selanjutnya
pandang juga a.a-1 = e
(a.a-1) (a-1)-1
= e (a-1)-1 [ kedua ruas dikalikan
dengan (a-1)-1 ]
a[ (a-1) (a-1)-1 ] = (a-1)-1 [
hukum asosiatif ]
a.e = (a-1)-1 [(a-1)-1
(a-1) = e ]
a = (a-1)-1
Oleh karena itu
terbukti bahwa (a-1)-1
= a.
4. Misalkan e
unsur identitas di G, dan a, b anggota sembarang di G. Akan ditunjukkan
( ab )-1 = b-1 .
a-1.
Hal ini ekivalen jika ditunjukkan
(ab) ( b-1 . a-1 ) = ( b-1 . a-1 )
(ab) = e.
Untuk itu pandang
(ab) ( b-1 . a-1
) = [ (ab) (b-1)-1 ]a-1 [ asosiatif ]
=
[ a(bb-1) ]a-1 [
asosiatif ]
=
(ae) a-1 [
bb-1 = e ]
=
a a-1 [
a.e = a ]
=
e [ a a-1
= e ]
Pandang pula
( b-1 . a-1 )
(ab) = [ ( b-1 . a-1 ) a ]b [ asosiatif ]
=
[ b-1 (a-1a) ]b [
asosiatif ]
=
(b-1 e)b [
a-1 a = e ]
=
b-1 b [
b-1 e = b-1 ]
=
e [ b-1
b = e ]
Jadi (ab) ( b-1 . a-1
) = ( b-1 . a-1 ) (ab) = e. Ini berarti ( ab )-1 = b-1 .
a-1.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar